?

Log in

No account? Create an account
чисто посмеяться (про Германию и пики на «красивых» числах) - jemmybutton

> Recent Entries
> Archive
> Friends
> Profile

December 9th, 2011


Previous Entry Share Next Entry
12:10 am - чисто посмеяться (про Германию и пики на «красивых» числах)
вычленил отсюда http://jemmybutton.livejournal.com/1359.html



1. Распределение участков по явке
Во-первых нормального распределения (распределения Гаусса) в случае когда случайная величина (в данном случае — явка) по определению принимает значения только в определенном диапазоне быть не может + нормальное распределение, вообще говоря, симметрично (то что проходит под названием «нормальное» меняет форму в зависимости от расположения на шкале и вообще интересно как себя должно вести вблизи нуля или единицы), тут надо говорить о чем-то вроде бета-распределения или логит-нормального распределения (не знаю как по-людски называется, но именно логит log(x/(1-x)) величины, а не саму величину анализируют для таких данных, насколько я понял, см., например, здесь  или тут, upd: впрочем, логит-нормальное распределение мне не нравится, бета-распределение круче или SB Джонсона, может) (это все не очень важно (до поры), просто для справки любителям помянуть «гауссиану» к месту и не к месту). Во-вторых, причудливая форма распределения может объясняться неоднородностью электората. Для примера, вот распределение для выборов в бундестаг 2002 (данные отсюда http://www.bundeswahlleiter.de/en/bundestagswahlen/fruehere_bundestagswahlen/btw2002.html , только по избирательным округам).

плотность вероятности от явки (если шкалу заменить на количество округов, то вместо 20 будет где-то 60). да, выборка небольшая, но 300 значений для общего представления о распределении обычно вполне достаточно.

Небольшой пик слева (в районе 75), насколько можно судить, соответствует меньшей явке в Восточной Германии (впрочем, дело не только в этом, см. ниже). Распределение, следовательно, не обязано подчиняться каким-то определенным простым законом (и по определению не может быть «нормальным»)

UPD: тут люди говорят, что распределение нормальное, просто кривенькое, по причине малого количества точек.
нормальность распределения, вообще, проверяется не на глаз, а при помощи специальных критериев.
парочка вот (нулевая гипотеза — расределение под вопросом является нормальным).

Shapiro-Wilk normality test
W = 0.909, p-value = 7.397e-13

Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

D = 0.1667, p-value < 2.2e-16

около трехсот значений (звиняйте, данных по отдельным участкам найти не удалось) как правило уже вполне достаточно (вообще может даже многовато), чтобы результат не вызывал сомнений, а при таких значениях p и говорить не о чем. правда это ни о чем не говорит в любом случае.
Кстати, услышите что распределение где-то «нормальное» или «ненормальное», сразу требуйте результат проверки на нормальность. Правда да, на таких больших выборках это бессмысленно.
UPD: распределение по регионам и так ли все просто

распределения явки по отдельным землям. зеленым — те что прошли проверку на нормальность, красным — та что не прошла (а именно — Северный Рейн-Вестфалия, совсем не граница фрг и гдр, к слову). особого смысла тут искать не стоит, впрочем (с одной стороны выборки маленькие и тест на нормальность может показать все что угодно, с другой — на таких данных тест на нормальность вообще может показать все что угодно). Земли не все, а только те, где больше 10 округов (если включить с 10 округами, будет еще одна «ненормальная» линия)

UPD: закрыт ли вопрос с «гауссианой» у немцев?
Нет, и вот почему: когда точек мало (а их мало), тесты на нормальность выдают могут выдавать сущую дичь:


shapiro.test(1:50)
Shapiro-Wilk normality test
W = 0.9556, p-value = 0.05809

lillie.test(1:50)
Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
D = 0.0649, p-value = 0.8633

Это значит что для простой последовательности чисел от 1 до 50 таким образом отвергнуть гипотезу о нормальности нельзя. Северный Рейн-Вестфалия — это, к слову, самое большое количество точек (аж 64).

UPD: пользователь ixodus (см. комментарии) уделил внимание более высокому уровню агрегации данных по германии (округа вместо участков). этот факт, в принципе, может повлиять на распределение в масштабах страны, если разброс явки по участкам в пределах округа достаточно велик и действительно случаен. начиная от примерно 10 процентов (что, справедливости ради, по сравнению с рф довольно мало) пик слева начинает пропадать. впрочем, распределение не становится ни нормальным, ни логит-нормальным, даже когда размазано до полной утраты всяких деталей.
на корреляцию между явкой и голосами увеличение разброса даже в совершенно лашадиных масштабах никак существенно не влияет.

2.1 Зависимость голосов за какую-либо партию от явки
Ровно таким же образом голоса за какую-либо партию могут зависеть от явки избирателей. Те же выборы в бундестаг, зависимость от явки голосов за ХДС+ХСС (синим) и ПДС+СвДП+ЗЕЛЕНЫЕ+СДПГ (зеленым) (доля от общего числа избирателей в округе)

(количество голосов за партии/общее число избирателей в округе) от явки
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
1.4333 0.1438 9.966 < 2e-16 ***
-1.3380 0.1460 -9.165 <2e-16 ***


(количество голосов за партии/количество проголосовавших) от явки

UPD: корреляция между явкой и голосами по землям

Слева — ХДС+ХСС, справа — СДПГКрасным отмечены те линии, которые отражают значимую (p<0.05) линейную зависимость. Опять же, для определенного ответа выборки слишком маленькие. Тут тоже земли больше 10 округов. Две красные линии на графике про ХДС+ХСС — это Берлин и Северный Рейн-Вестфалия. Три красные на графике про СДПГ — Берлин, Северный Рейн-Вестфалия и Шлезвиг-Гольштейн (если включить с 10 округами, будет еще одна красная линия в том же направлении).

Слева — две земли со значимыми корреляциями для ХДС+ХСС, справа — три для СДПГ 

Слева — все земли, кроме перечисленных для ХДС+ХСС, справа — для СДПГ. p = 2.20e-15 и p = 7.90e-05
соответственно. Если убрать земли, где меньше 10 округов, то для ХДС+ХСС p = 4.422e-15, для СДПГ p = 0.0001248
Даже если убрать кроме перечисленных еще и все земли, где средняя явка < 78 (последняя картинка), для ХДС+ХСС все равно p = 0.0133 и p = 0.010961 для СДПГ (что, как считается, достаточно, чтобы говорить о значимой связи)
UPD: тут для британии более наглядный и качественный разбор http://users.livejournal.com/_ab_/139002.html#cutid1
тут для израиля http://levrrr.livejournal.com/31427.html
Даже стало интересно, а где не так?

2. Пики на «красивых» числах
Это на вид очень хороший аргумент, который и правда сложно связать с какими-то «естественными» процессами. Поэтому резонно проинспектировать и другие партии на предмет таких аномалий. Выборы в думу 2011 (сырые данные отсюда http://hist-kai.livejournal.com/243639.html, шаг в 0.1%, каждый процент помечен бледненькой такой линеечкой)



Количество участков от доли голосов за партию. Эти пики на дробях похожи на какую-то херню, может где-то что-то налажал опять.

UPD: про дроби
вот распределение для СР в окрестностях 1/7. шаг = 0.005% в середине 1/7

количество участков от процента СР


явка на тех участках, где голоса за СР в окрестности 1/7


голоса за ЕР участках, где голоса за СР в окрестности 1/7

Не вижу для тех участков, где странная доля голосов за СР никаких безумных аномалий для явки и голосов за ЕР. Что это может значить — понятия не имею, но интересно. Число проголосовавших на всех этих участках нацело делится на 7 (7–1799), так что, видимо, пики на таких значениях — просто артефакт. другие пики, включая пик на 50 за ЕР очень похожи в этом отношении.

UPD: Откуда могут браться пики на «круглых» цифрах
Пока не придумал как это доходчиво объяснить, поэтому просто приведу картинки (если коротко, то это вроде как связано с делимостью на простые числа и тем, что их соотношения дают пики на целых долях всего диапазона, как флажолеты на струне, к примеру).  
+UPD: Можно объяснить так: из набора случайных целых чисел, принимающих значение от нуля до n, случайно сочетаемых в обыкновенной дроби, больше способов получить, скажем, ровно 1/7, 1/2 или 3/4, чем, например, 11/70, 201/400 или 61/80 
  

это распределение для отношения двух равномерно распределенных целых случайных величин x и y.
x — от одного до 800 (чуть больше среднего участка), y — произвольная доля от x (округленное до целого).

> sample(800, 1000000, replace = TRUE) -> x$x
> sample(10000, 100000, replace = TRUE)/10000 -> x$y
> x$y <- round(x$x*x$y)
> hist(x$y/x$x, breaks = 200)

если убрать «участки» с x<100 пики уменьшаются, но не пропадают.

если ограничить значения y (в данном случае y < 1/2x, что ближе к реальности), пики становятся сильно более выраженными (шкала внизу до 0,5, обращаю внимание)

так-то

UPD: та же модель, только для распределения, похожего на настоящее
итак, вот распределение сгенерированных случайных чисел, имитирующих распределение количества явившихся на участки людей:

вот распределение, имитирующее распределение голосов за ер (сглаженное, без пиков, здесь и далее шаг в 0,2%):

далее я помножил «явившихся» из распределения сверху на «голоса» из распределения снизу, округлил до целых чисел и снова поделил на «явившихся» (можно было просто сымитировать распределение голосов за ер, но я что-то не подумал об этом). вот что из этого получилось:

убираем «участки» где «явилось» менее 400:

по-мойму так красота.

UPD: проверка на настоящих данных
Для проверки я добавил случайный шум с амплитудой в 1 голос к числу проголосовавших и к голосам за ер.
до:

после:

более или менее очевидную фигню мне видно только на 75 и 85.

убрал две картинки с распределением голосов за «остальных». они, по понятным причинам, такие же, как и за ЕР, но в зеркальном отражении

Пики не пропадают, если отбросить маленькие участки (кое-кто считает это аргументом против чисто стохастических объяснений), потому, что имеет значение не только размер участка, но и количество участков относительно их размера.

UPD: тем, кого это не убедило
и правильно что не убедило, поэтому призываю проверить все самостоятельно. если нигде тут нет лажи (а на этот предмет было бы здорово, если бы кто-нибудь проверил это дело независимо), то пики на дробях с небольшим знаменателем возникают неизбежно при таких данных (почему, интересно, в настоящих данных они такие маленькие? аномалия?) и чтобы найти настоящие аномалии, нужно их устранить (например, добавив шум). таким образом, думаю, что тем, кто действительно ищет фальсификации (и сам почему-то до такого объяснения не дошел), я, наверное, помог, а тем кто уже напечатал плакатов с, вероятно, артефактами — увы. и что за фигня творится на 75% и 85% и, возможно, в районе 90–100%% по прежнему не ясно

Обращаю еще раз внимание, что так объясняются только «узкие» пики с одинаковыми значениями (=1/2; = 1/3; =1/7 и т. п.), которые видны только при достаточно маленьком шаге. если пик широкий, это объяснение не подходит.


UPD: Спасибо Dmitry Kobak, он провел проверку этих результатов 
выходит, что что-то исчезает, а что-то остается (начиная от 65), а у того что осталось вроде можно найти прописку. Словом, рекомендую http://kobak.livejournal.com/102646.html#cutid1

Словом, про пики резюмирую так (а то одним мерещится что тут написано будто выкладки сверху объясняют все пики, а другим — что я скрываю, что на самом деле они ничего не объясняют):


тут была неинтересная фигня

Может у кого есть для «хороших людей» годное объяснение?




(31 comments | Leave a comment)

Comments:


From:8cinq
Date:January 8th, 2012 07:59 pm (UTC)
(Link)
Проверил на данных выборов в Польше - тоже есть пики на красивых цифрах. Но там мало УИК, не достаточно наглядно. Пытался найти данные по выборам в германии, как второй по численности страны в Европе, но не нашел. Вам не попадалось?

Еще вопрос к вам. В чем логический смысл отсечения УИК с определенным числом избирателей? Т.е. я читаю анализ в разных блогах, то отсекают, то присекают - но в чем смысл? Я вижу только одну зависимость - чем меньше количество голосов на УИК, тем более хаотичны на них будут результаты - т.е. уменьшается репрезентативность. Но в чем смысл их отсекать?
[User Picture]
From:jemmybutton
Date:January 9th, 2012 11:44 am (UTC)
(Link)
А там «артефактные» пики или «настоящие» тоже есть? По Германии не нашел, к сожалению, только по округам, то что выше приведено.
Особого смысла нет, просто было такое объяснение предложено кем-то, что пики возникают от мелких участков, их кто-то отсек и ничего не поменялось, поэтому я тут тоже это проделал. А в РФ, как я понял, небольшие участки распределены еще и сильно неслучайно, так что просто отсекать их, конечно, нельзя.
From:8cinq
Date:January 9th, 2012 12:04 pm (UTC)
(Link)
Я пока не экспериментировал с Польшей. Завтра будет пост. Вообще, мне кажется, что из настоящих пик только пару и есть на графике ЕР. Вы наверняка читали материал anpaza на эту же тему, у него вполне наглядный пример на тему того, что шум не есть полное решение проблемы квантования: http://anpaza.livejournal.com/21894.html?thread=96902#t96902
Т.е. случайные данные не полностью сгладились, несмотря на шум - а их заподозрить в фальсификации сложно. Да и сама идея фальсификаторов-педантов - асбурдна.
[User Picture]
From:jemmybutton
Date:January 9th, 2012 12:15 pm (UTC)
(Link)
Насколько я понял, есть места, где действительно полно участков с «красивыми» значениями (типа http://oude-rus.livejournal.com/542821.html и конкретно Стерлитамак, откуда в основном и берутся эти 75%), так что вполне верю в то, что это не сплошь артефакты целочисленного деления. Шум не может не убрать все артефакты такого плана, но, возможно, что есть и другие, которые надо искать отдельно, но у меня пока мыслей на этот счет нет.
[User Picture]
From:katmoor
Date:January 10th, 2012 07:01 am (UTC)
(Link)
Вас не затруднит коротко подъитожить смысл Ваших интересных исследований (для менее образованных чем Вы людей) в виде:
"полученный мною результат означает,что........"
[User Picture]
From:jemmybutton
Date:January 10th, 2012 07:37 am (UTC)
(Link)
В начале корневого поста (http://jemmybutton.livejournal.com/1359.html) промежуточные выводы висят. Смысла особого нет, просто «в интернете кто-то неправ»
[User Picture]
From:hyperpov
Date:January 11th, 2012 10:05 pm (UTC)
(Link)
Вот скажите, пожалуйста, зачем брать по горизонтали шаг в 0.2%? Ведь известно же, что характерное число проголосовавших на одном участке около 1000, стало быть, если брать шаг порядка 1/1000, то полезут выбросы на дробях со всевозможными знаменателями. Полпроцента - очень разумный шаг для усреднения большинства выбросов. Еще очень полезно те точки, которые попадают точно в границу между интервалами (1/2, например), разбить пополам и скинуть одну половинку влево, другую вправо. Выброс на 1/2 исчезает полностью сразу и "забор" в целом сглаживается. Но кратные 5% ближе к правому краю торчат все равно заметно. На собственный график с добавлением шума посмотрите, немного отодвинувшись от экрана, и убедитесь.

Что касается нормальных распределений, то хоть режьте, трамплина у 0% или 100% быть не должно. По крайней мере, если это густонаселенный город с телевидением и интернетом. Постройте графики для Новосибирска без области и удивитесь. Там "гаусс" почему-то действует.

Кстати, а не знаете, где скачать окончательные данные одним файлом? У меня данные на тот момент, когда еще где-то 500 тыс было не посчитано.
[User Picture]
From:jemmybutton
Date:January 11th, 2012 10:34 pm (UTC)
(Link)
Во-первых это не число проголосовавших, а проценты. Теоретически мы имеем под сто тыщ значений от 0 до 1 (от 0% до 100%) и шаг можно было бы в теории делать очень маленьким, поэтому никто и не парился особо. Ну и нашли какие-то пики при таком шаге (чуть больше-чуть меньше). Среди прочих я тут нашел проблему (эти 90 тыщ значений распределены неравномерно, хошь-нехошь, а с пиками на дробях). Чтобы от них избавиться, можно добавить шум к исходнымому числителю (голосам за партию) или знаменателю (общему числу проголосовавших) или и туда и тода. Если шум достаточно дробный и случайный то все артефакты целочисленного деления уходят (если у нас разных значений больше чем всего значений, то какие тут артефактные пики?). Во-вторых, это не я придумал такой бин брать. Пик на 50 (который в очень большой степени артефакт) появился давно как раз из-за маленького шага и его преподносили в числе прочих доказательств фальсификаций.
На собственный график с добавлением шума я не только сразу посмотрел, но и написал, что какая-то фигня остается. И ссылка на пост kobak висит, где у него все расписано с красивыми картинками. И картинка висит, где отметчено что ушло, а что осталось). И вначале написано несколько раз, что что-то ушло (например пики на 40-50-60 и большинство пиков у других партий ушло), а что-то осталось (например на 75 и 85 у ЕР). Из того что какие-то пики где-то остались никак не следует что устранение артефактных пиков — фигня.

«Гаусс» (если Вы имеете в виду нормальное распределение) — это модель. Она тут неадекватна (безо всяких рассуждений о хвостах и трамплинах, просто данные такие, дробь от 0 до единицы). ОК, Вам лично нравятся графики для Новосибирска, постройте модель, которая надежно опишет это распределение и отсечет те случаи, которые Вам не нравятся. Используйте тесты на нормальность (если считаете что распределение нормальное), q-q plot соответствующий, посмотрите как ведет себя распределение для таких дробей вблизи нуля и единицы. Этого никто не делает (насколько мне известно). Посмотрите в мой основной пост, там есть кое-какие наметки, как это можно пытаться делать (может не слишком удачные). Если хочется плакат напечатать, то это можно ограничиться тем что «"гаусс" почему-то действует», а если типа «научно» что-то доказать, то это не так делается, вот и все что я хотел сказать.

Вроде на http://www.kartaitogov.ru/ есть окончательные данные в нормальном виде
[User Picture]
From:hyperpov
Date:January 12th, 2012 07:28 am (UTC)
(Link)
== Теоретически мы имеем под сто тыщ значений от 0 до 1 (от 0% до 100%) и шаг можно было бы в теории делать очень маленьким, поэтому никто и не парился особо. ==

Грубо неверно. Хоть миллион значений, но если весь миллион состоит из дробей со знаменателем порядка 1000, не надо брать шаг порядка 1/1000. Этим Вы усиливаете эффект красивых дробей, закрывая им явные признаки фальсификации. Зачем?

Кроме того, если шаг по горизонтали меньше пикселя, выбросы становятся просто выбросами, а ямы рядом с ними исчезают. При большем шаге безо всякого добавления шума видно, что на 1/2 значительный арифметический эффект, а на 13/20 - нет. А 17/20 - что за красивая дробь такая? И еще, вот прямо пока писал, нарисовал две гистограммы голосования за ЕР - по участкам, где (якобы) проголосовало меньше 600 и больше 600 человек. Таких участков примерно поровну. Казалось бы, там, где знаменатели меньше, забор должен быть забористее. Но получается почему-то ровно наоборот. Сильно торчат только 17/20 и 19/20. А на больших участках выбросы на всех кратных 1/20, начиная с 13/20.

== Пик на 50 (который в очень большой степени артефакт) появился давно как раз из-за маленького шага и его преподносили в числе прочих доказательств фальсификаций. ==

Да, большой выброс с ямой непосредственно перед ним - эффект перебрасывания всех 1/2-х направо от барьера. Но даже после перебрасывания поровну туда и сюда какой-то подозрительный зуб на 50-52% при симметричной яме перед ним остается. Красивые дроби относительно 1/2 симметрично расположены, так что они здесь точно не при делах. И зуб этот на участках с явкой < 600 человек почему-то не наблюдается. Так что "разоблачители" были скорее правы, указав на этот выброс, хотя, возможно, приплюсовали сюда и арифметический выброс.

== «Гаусс» (если Вы имеете в виду нормальное распределение) — это модель. Она тут неадекватна ==

Я прекрасно понимаю, что в точности гаусса здесь нет и быть не может. Это так же верно, как и то, что Земля и другие планеты не круглые, и даже не шарообразные. Но есть масса разных по природе причин, которые заставляют многие случайные величины иметь распределение, похожее на гауссово. Похожее чисто качественно - узкий пик с примерно симметричными склонами. Не надо мне напоминать о том, что люди, пришедшие на участки, не бросают монеты и не являются независимыми друг от друга. Кинетическая энергия молекул в газе распределяется по Гауссу вовсе не потому, что кто-то суммирует независимые случайные величины, а потому, что молекулы сталкиваются. При этом как именно выглядит диаграмма рассеяния, не имеет значения, важно только, насколько я помню, чтобы энергия при рассеянии сохрянялась. В мегаполисе люди постоянно перемещаются и "сталкиваются" друг с другом, причем взаимодействие происходит не только и даже не столько по территориальному признаку, так как общаются люди очень много с коллегами и друзьями, которые живут не в соседнем доме. Возьмите любую модель со взаимодействием и однородным внешним влиянием (у всех одно и то же показывают по дуроскопу и энторнету) и получите в распределениях нечто гауссоподобное. Почему в Новосибирске и Екатеринбурге это действует, а Москве и Питере - нет? Ну, я понимаю, что всякие там спекуляции на тему голосования по приказу в армии могут давать где-то объяснения для 100% голосования, хотя эффект по-моему переоценивается. Но безумный выброс на 45% в Питере - это что? Разумеется, большая часть вклада в этот выброс сосредоточен всего в двух ТИК. Какая модель это может объяснить, кроме очевидной: "так, ребята, сильно не наглеем, рисуем 45% плюс-минус процент".

Просто смешно смотреть на попытки применять тут какие-то статистические методы, когда бОльшая часть данных фальсифицирована так или иначе, причем принципы фальсификации разнообразны, и даваемые ими статистические эффекты перемешаны. Если вам в тарелку попала муха или даже таракан, можно побороть брезгливость, вынуть насекомое из тарелки и продолжать есть. Но если в тарелку, извините, поверх еды просто насрали, то разбирать, что там было, азу или гуляш, бессмысленно. В тарелке говно. 100%.

== Вроде на http://www.kartaitogov.ru/ есть окончательные данные в нормальном виде ==
Спасибо, понюхаю посмотрю.
[User Picture]
From:jemmybutton
Date:January 12th, 2012 07:43 am (UTC)
(Link)
Вы хоть читаете что я пишу? Артефакты целочисленного деления возникли сначала не у меня, а у ребят, которые выборы разоблачают. Я эти артефакты отделил от реальных данных, они сами это подтверждают (http://kobak.livejournal.com/102646.html#cutid1, http://oude-rus.livejournal.com/548240.html#cutid1). Что Вы мне пытаетесь объяснить? Что что-то осталось? Я с этим не спорю.

С «гауссом» проблема не в монетках и всеми любимой ЦПТ, а в том, что «гауссиана» — не единственное в мире распределение. И для случайных величин, практически и по определению ограниченных определенным диапазоном (таких как дроби типа процентов на выборах) есть другие распределения. И про выброс в Питере у меня написано (по данным с ruelect) и про Москву и про НН и про многое другое.

Давайте сначала читать, а потом комментировать.
[User Picture]
From:politic_discuss
Date:March 2nd, 2012 04:33 pm (UTC)
(Link)
:) что-то про пики я вообще не догнал. Т.е. Вы утверждаете, что вероятность того, что за Партию проголосуют от 50 до 51% проголосовавших существенно выше, чем вероятность того, что за партию проголосуют от 49% до 50%?..
[User Picture]
From:jemmybutton
Date:March 2nd, 2012 04:59 pm (UTC)
(Link)
нет, вероятность того что проголосует ровно 50 выше чем 50.1 или 49.9. ступенька 49-50, если она есть, так не объясняется. советую обратиться к записи kobak, на которую приведена ссылка
[User Picture]
From:politic_discuss
Date:March 2nd, 2012 05:56 pm (UTC)
(Link)
Если я не ошибаюсь, в исходной диаграмме они округляли данные до целых процентов. Т.е. они считали количество УИК, в которых за партию отдали 49% т.е. 49..49,9(9)% и 50% т.е. 50..50,9(9)% голосов...
[User Picture]
From:politic_discuss
Date:March 2nd, 2012 06:00 pm (UTC)
(Link)
То есть там "бин" был в 1%.
[User Picture]
From:jemmybutton
Date:March 2nd, 2012 06:43 pm (UTC)
(Link)
на плакате написано — бин 0.5. если двигать рамку, то так примерно и получится при желании. тут я больше ничего прокомментировать не могу, все есть в посте и по ссылкам.

> Go to Top
LiveJournal.com